مسئله باز به مسئله ای گفته می شود که هنوز حل نشده است. در واقع مسئله باز ترجمه ترکیب open problem است که به نظر ترجمه خوبی است زیرا وقتی مسئله ای هنوز حل نشده است به نوعی پرونده آن هنوز باز است و دانشمندان مشغول کار کردن روی آن هستند. بر خلاف اینکه خیلی ها گمان می برند مسائل مشکل ریاضی لابد باید بسیار ظاهر پیچیده ای داشته باشند باید گفت که همیشه هم اینطور نیست. در زیر به دو مسئله ی باز ریاضی اشاره میکنیم که هر کدام عمری بسیار طولانی در تاریخ ریاضیات دارند و هنوز هیچ ریاضیدان بزرگ یا کوچکی نتوانسته پرونده این دو مسئله را ببندد. جالب اینکه این دو مسئله را میتوانید برای دانش آموزان سال اول راهنمایی مطرح کنید.قبل از بیان این دو مسئله برای یادآوری شما اعداد اول را تعریف میکنیم.

یادآوری

تعریف: عدد طبیعی n را یک عدد اول گوییم هرگاه نتوان n را به صورت حاصلضرب دو عدد طبیعی غیر از یک نوشت. مثلا اعداد زیر همگی اعداد اول هستند :

2،3،5،7،11،13،17،19،23،29،31،37،41،43،47 

برای یادآوری میگوییم که اعداد اول پایان ناپذیر هستند یعنی بزرگترین عدد اول وجود ندارد. 

حال به بیان  مسئله های باز می پردازیم.

 قبل از بیان مسئله تعریف کوچک قشنگی ارائه میدهیم:

تعریف : دو عدد اول m و n را دو عدد اول دو قلو گوییم هرگاه m و n دو عدد فرد متوالی باشند که هر دو اول هستند. مثل 3 و 5 که دو قلوی اول  هستند.5 و 7 دو قلوی اول هستند. 7 و 11 دو قلوی اول نیستند زیرا 9 عدد فردی است که اول نیست و بین 7 و 11 قرار دارد. 11 و 13 دو قلوی اول هستند.

 حدس اعداد اول دوقلوی نامتناهی :

 اعداد اول دو قلو بی پایان هستند. یعنی شما هر چقدر بخواهید میتوانید دو تایی های دوقلوی اول داشته باشید.

این حدس نیز علی رغم سادگی سالیان زیادی است که بدون اثبات یا رد پرونده اش باز است. تاریخ دقیق این حدس را نمیدانم اما آنگونه که از شواهد و قرائن بر می آید خیلی بیشتر از صد و شصت سال قدمت این مسئله است.

جالب اینکه این حدس را نیز با کامپیوتر های توانا تا ارقام بزرگ چک کرده اند و درست بوده است. بهتر است بدانید در سال 2005 ریاضیدانان توانستند دوقلوی های اولی بیابند که 58711 رقمی هستند. در سال 2007 دوقلو های اول 100355  رقمی کشف شدند. در سال 2009 کار از این نیز بالاتر گرفت و دوقلو های اول دارای 200700 رقم کشف شدند. این کشف ها پیشرفت در علم ریاضی و کامپیوتر و الگوریتم را نشان می دهند(یعنی هر دو سال تعداد رقم ها دو برابر شده است). زوج دو قلوی دویست هزار و هفتصد رقمی را در زیر می بینید:

1+2666669*3756801695685

1-2666669*3756801695685

ما ریاضیدانان را قبول داریم و حرفشان برایمان سند است ولی شما اگر شک دارید خودتان تحقیق کنید.به وضوح دو عدد فوق دو عدد فرد متوالی هستند. نشان دادن اینکه این دو عدد اول هستند و دارای دویست هزار و هفتصد رقم هستند با خودتان

 

 

 

حدس گلد باخ

حدس گلدباخ در ریاضیات یکی از قدیمی‌ترین مسائل حل نشده نظریه اعداد است. این حدس می‌گوید:

هر عدد زوج بزرگ‌تر از ۲ عدد گلدباخ است و می‌توان آن را به صورت حاصل‌جمع دو عدد اول نوشت.

نوشتن هر عدد زوج را بصورت حاصل جمع دو عدد اول، تقسیم‌بندی گلدباخ می‌نامند.

 

 

انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد.

                  این انگاره چنین است:


هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.

صورت معادل آن چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.

تاریخچه

گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً



4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 , … , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …

گلدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.

 

تلاش‌ها برای اثبات

  • در سال 1931 اشنیرلمان (1905-1938) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر 300000 عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با هدف اصلی یعنی اثبات انگاره‌ی گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این اثبات مستقیم و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.
  • بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی ، لیتلوود و همکار هندی برجسته آنها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد ، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از 300000 به 4 کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان 300000 و 4 باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح «به اندازه کافی بزرگ» ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N ای وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر 4 عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر 4 عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.
  • در سال 1956 باروتسکین با نشان دادن اینکه عدد exp(exp(16/038))=n در قضیه وینوگرادف کافیست گام دیگری در این راه نهاد.
  • در 1919 ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ضرب حداکثر 9 عدد اول هستند.
  • در 1937 ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ضرب حداکثر 366 عدد اول است.
  • کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است.
  • در 1957 ، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ ،‌مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر سه عدد اول است.
  • در 1948 آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج بقدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c عدد اول است. ( c عددی ثابت و مجهول است).
  • در 1961 باربن نشان داد که c=9 برای این منظور کفایت می‌کند.
  • در 1962 ، پان چنگ دونگ این مقدار را به c=5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان ، مستقل از هم ،‌آن را به c=4 کاهش دادند.
  • در 1965 بوخشتاب این قضیه را به ازای c=3 کاهش داد.
  • در 1966 ، چن جینگ ران روش غربال را بهتر کرد و قضیه را به ازای c=2 ثابت کرد. یعنی

هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر دو عدد اول است.

 

حدس گلد باخ : هر عدد زوج بزرگتر از دو را می توان به صورت مجموع دو عدد اول نمایش داد.

مثال ۲+۲=۴

۳+۳=۶

۵+۳=۸

۷+۳=۱۰

۷+۵=۱۲

۱۱+۳=۱۴

.......

۱۹+۳۱=۵۰

......

۱۱+۵۹ = ۷۰

....

البته واضح است که نمایش فوق ممکن است یکتا نباشدبه طور مثال برای عدد زوج ۲۴ داریم

۵+۱۹=۲۴

۷+۱۷=۲۴

۱۱+۱۳=۲۴

 حدس گلدباخ  در سال ۱۷۴۲ میلادی توسط گلدباخ ریاضیدان نه چندان معروف بیان شد و تا به امروز کسی قادر به اثبات یا رد این حدس نبوده است. جالب اینکه با کامپیوتر های توانا در محاسبات تا مقادیر بزرگ این حدس چک شده است و درست می باشد ولی همه میدانیم که هیچ تضمینی برای درست بودن این حدس نیست.هرچند در سالهای اخیر پیشرفت های زیادی در حل این مسئله شده است اما تا سال 2000 میلادی این مسئله برای حل خود جایزه ای یک میلیون دلاری را به حریفان نشان می داد.